ՀՍՀ/ՀԱՐՄՈՆԻԿ ԱՆԱԼԻԶ

ՀԱՐՄՈՆԻԿ ԱՆԱԼԻԶ, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է պարբերական ֆունկցիաները եռանկյունաչափական շարքերի և ինտեգրալների վերլուծելու հարցերը: Հ. ա–ի հիմնական խնդիրներից մեկը f(x) պարբերական ֆունկցիան եռանկյունաչափական շարքի գումարի տեսքով ներկայացնելն է, այսինքն` պարբերական ֆունկցիան տրոհել պարզ հարմոնիկ բաղադրիչների: Т = 2п պարբերություն ունեցող f(x) ֆունկցիայի համար այդպիսի վերլուծությունն ունի

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ տեսքը, որտեղ (a_n) և b_n գործակիցները որոշվում են

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx,(n=0,1,2,...)$ $b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx,(n=1,2,...)$ բանաձևերով (տես Ֆուրիեի շարք):

Հանգունորեն, (-∞, +∞) միջակայքում տրված f(x) ֆունկցիան որոշակի պայմանների դեպքում ներկայացվում է Ֆուրիեի ինտեգրալով՝

$f(x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dz\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cos z(t-x)dt,$ որը կարելի է գրել նաև կոմպլեքս տեսքով՝

$f(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ixu}du\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{iut}dt:$ Վերջինս տրոհվում է երկու բանաձևերի՝

$F(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{iut}dt,$ $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(u)e^{-iux}du:$

F(x)–ը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի ձևափոխություն: Ֆուրիեի շարքերը և ձևափոխությունների տեսությունները կարևոր դեր են խաղում մաթեմատիկայի մի շարք բաժիններում, ֆիզիկայում, էլեկտրատեխնիկայում, ռադիոֆիզիկայում ևն: Հ. ա–ի վերը նշված հարցերը ուսումնասիրել են դեռևս Բ. Ռիմանը, Ա. Լեբեգը, հետագայում սովետական մաթեմատիկոսներ Ն. Ն. Լուզինը, Դ. Ե. Մենշովը, Ա. Ն. Կոլմոգորովը, Ն. Կ. Բարին: Հայ մաթեմատիկոսներից այդ բնագավառում զգալի ավանդ են ներդրել Մ. Մ. Ջրբաշյանը (Հ. ա. կոմպլեքս տիրույթում) և Ա. Ա. Թալալյանը (օրթոգոնալ շարքերի տեսություն):

Գրկ. Ջրբաշյան Մ. Մ., Դասախոսություններ ֆունկցիաների տեսության ընտրովի հարցերի շուրջը, պրակ 1, Ֆուրիեի ձևափոխություններ, Ե., 1964: Талалян А. А., Вопросы представления и единственности в теории ортогональных рядов, в сб.: Итоги науки. Математический анализ, 1970, М., 1971 Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, М,, 1969 Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., 1966. Ա. Ավետիսյան