ՀՍՀ/ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՎԱՍԱՐԱՉԱՓ ԶՈՒԳԱՄԻՏՈՒԹՅՈՒՆ, զուգամիտության կարևոր մասնավոր դեպք (տես Տարամիտություն և զուգամիտություն):{f_n(x)} ֆունկցիաների հաջորդականությունը հավասարաչափ զուգամիտում է սահմանային f(x) ֆունկցիային X բազմության վրա (նշանակվում է՝ f_n(x) ⇉ f(x), x ∈ X), եթե կամայական ε > 0-ի համար գոյություն ունի x-ից անկախ այնպիսի N(ε), որ |f_n(x) - f(x)| < ε անհավասարությունը տեղի ունի կամայական n > N(ε)-ի դեպքում՝ բոլոր x ∈ X-երի համար միաժամանակ։ Գործնականում ավելի կիրառական է վերը նշվածին համարժեք հետևյալ սահմանումը․ f_n(x) ⇉ f(x), x ∈ X, եթե

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in X}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0$ ։

Օրինակ, {xⁿ} ֆունկցիոնալ հաջորդականությունը [0,1] հատվածում զուգամիտում է

Չհաջողվեց վերլուծել («\begin{cases}» անհայտ ֆունկցիա): {\displaystyle \varphi(x) = \begin{cases} 0, & \text{երբ } 0 \le x < 1 \ 1, & \text{երբ } x = 1 \end{cases} }

ֆունկցիային, սակայն՝ անհավասարաչափ, քանի որ

$\underset{x\in [0,1]}{\sup }|x^n-\phi (x)|=1$ ։

Ընդ որում՝ կամայական [0, a], 0 < a < 1 հատվածում տեղի ունի Հ․ զ․՝ {xⁿ} ⇉ φ(x), քանի որ

$\underset{x\in [0,a]}{\sup }|x^n-\phi (x)|=a^n\to 0,\text{ երբ }n\to \mathrm{\infty }$ ։

Երկրաչափորեն Հ․ զ․ նշանակում է, որ կամայական ε > 0-ի համար ինչ-որ համարից սկսած բոլոր f_n(x), (n > n₀) ֆունկցիաների գրաֆիկները ընկնում են սահմանային f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկն շրջապատող 2ε լայնությամբ շերտի մեջ: Հավասարաչափ զուգամիտող ֆունկցիոնալ հաջորդականություններն ունեն մի շարք կարևոր հատկություններ, օրինակ, X–ի վրա հավասարաչափ զուգամիտող անընդհատ ֆունկցիաների հաջորդականության սահմանային ֆունկցիան դարձյալ անընդհատ է X–ի վրա, անհավասարաչափ զուգամիտման դեպքում սահմանային ֆունկցիան կարող է լինել և խղզվող: Մաթեմատիկական անալիզում կարևոր դեր է խաղում Վայերշտրասի թեորեմը. փակ հատվածում անընդհատ կամայական ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես հավասարաչափ զուգամիտող բազմանդամների (կամ եռանկյունաչափական բազմանդամների) հաջորդականության սահման:

Ա. Կիտբալյան