ՀՍՀ/ԿՈՏՈՐԱԿ

ԿՈՏՈՐԱԿ, թիվ, որը կազմված է միավորի ամբողջ թվով մասերից: Կ. պատկերվում է $\frac{p}{q}$ պայմանանշանով, որտեղ p և q ամբողջ թվերը համապատասխանաբար ցույց են տալիս, թե միավորը քանի հավասար մասերի է բաժանված (կոչվում է Կ-ի հայտարար) և քանի այդպիսի մաս է վերցված (կոչվում է Կ-ի համարիչ): Համարիչը և հայտարարը կոչվում են Կ-ի անդամներ: Կ. կարելի է դիտարկել որպես p և q (q≠0) ամբողջ թվերի քանորդ: Եթե p-ն q-ի բաժանվում է առանց մնացորդի, ապա $\frac{p}{q}$-ն ամբողջ թիվ է (օրինակ, $\frac{6}{3}=2$, $\frac{15}{5}=3$), հակառակ դեպքում՝ կոտորակային թիվ: Pq դեպքում՝ անկանոն: Անկանոն Կ. կարելի է ներկայացնել ամբողջ թվի և կանոնավոր Կ-ի գումարի տեսքով (կոչվում է խառը թիվ, օրինակ՝ $2\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$): Համարիչն ու հայտարարը զրոյից տարբեր թվով բազմապատկելիս (բաժանելիս) Կ-ի մեծությունը չի փոխվում: Դրա վրա է հիմնված Կ-ի կրճատելը՝ $\frac{pk}{qk}=\frac{p}{q}$ (օրինակ, $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$) և ընդհանուր հայտարարի բերելը՝ $\frac{p}{m}=\frac{pn}{mn}$ և $\frac{q}{n}=\frac{qm}{mn}$ (օրինակ՝ $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ և $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$): Ցանկացած Կ. կրճատելով կարելի է բերել անկրճատելի Կ-ի (որի համարիչն ու հայտարարը փոխադարձաբար պարզ թվեր են): Կ-ների համար թվաբանական գործողությունները սահմանվում են այսպես՝ $\frac{m}{n}\pm \frac{p}{q}=\frac{mq\pm np}{nq}$, $\frac{m}{n}\cdot \frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}$, $\frac{m}{n}:\frac{p}{q}=\frac{mq}{np}$: (1) Տասնորդական Կ. կոչվում է այն Կ., որի հայտարարը 10-ի ամբողջ աստիճան է: Տասնորդական Կ. գրում են առանց հայտարարի՝ համարիչում աջից ստորակետով անջատելով այնքան նիշ, որքան զրո է պարունակում հայտարարը, օրինակ, $\frac{15364}{100}=153,64$, $\frac{7}{100}=0,07$: Այսպիսի գրելաձևում ստորակետից ձախ գտնվող մասը ցույց է տալիս Կ-ի ամբողջ մասը, ստորակետից աջ առաջին նիշը՝ տասնորդական մասերի քանակը, երկրորդ նիշը՝ հարյուրերորդական մասերի քանակը ևն: Ռացիոնալ թվերը տասնորդական Կ-ով ներկայացնելու դեպքում պարունակում են վերջավոր թվով թվանշաններ (օրինակ, $\frac{4}{25}=0,16$) կամ ներկայացման մեջ մտնող թվանշանները որոշ տեղից սկսած պարբերաբար կրկնվում են (պարբերական կոտորակ, օրինակ, $\frac{7}{6}=1,1666...$): Իռացիոնալ թվերը ներկայացվում են ոչ պարբերական անվերջ տասնորդական Կ-ներով, օրինակ, $\sqrt{2}=1,41421...$: Բոլոր դեպքերում a_ka_k-1...a₁, b₁b₂... տասնորդական Կ. կարելի է գրել $a_k\cdot 10^k+a_{k-1}\cdot 10^{k-1}+...+a_1\cdot 10+\frac{b_1}{10}+\frac{b_2}{10^2}+...$ տեսքով, որտեղ a_k, ..., b₁, b₂-n 0, 1, 2,..., 9 թվանշաններն են (a_k≠0), օրինակ, 245,176 = $2\cdot 10^2+4\cdot 10+5+\frac{1}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{6}{10^3}$: Տասնորդական Կ-ները հայտնի են եղել դեռևս XIV— XV դդ.: Սամարղանդցի մաթեմատիկոս ալ-Կաշին 1427-ին նկարագրել է տասնորդական Կ-ների համակարգը: Տասնորդական Կ. Եվրոպա է մուծել նիդերլանդացի գիտնական Ս. Ստեվինը (1584): $\frac{1}{n}$ տեսքի Կ-ները (կոչվում են միավոր Կ-ներ) գործածվել են դեռևս հին Եգիպտոսում (2000 տարի մ. թ. ա.) և Հայաստանում՝ Ուրարտուում (IX—VI դդ. մ. թ. ա.): Այդ տեսքի Կ-ներ օգտագործված են նաև Անանիա Շիրակացու խնդրագրքում (VII դ.): Հին Բաբելոնում գործածվել են $\frac{1}{60^2}$ տեսքի Կ-ներ, որոնք մեծ դեր են խաղացել անտիկ թվաբանությունում: Միավորը 60 մասի բաժանելու սկզբունքը այժմ էլ օգտագործվում է անկյուն և ժամանակ չափելիս: Հանրահաշվում Կ. անվանում են P/Q հարաբերությունը, որտեղ P-ն և Q-ն հանրահաշվական արտահայտություններ են: Մասնավորապես, երբ P-ն և Q-ն ամբողջ բազմանդամներ են, ապա Կ. կոչվում է կանոնավոր, եթե համարիչը հայտարարից ցածր աստիճանի բազմանդամ է, անկանոն՝ հակառակ դեպքում Անկանոն Կ. կարելի է ներկայացնել ամբողջ բազմանդամի և կանոնավոր Կ-ի գումարի տեսքով: Վերացական հանրահաշվում Կ. սահմանվում է որպես (p, q) կարգավորյալ զույգ, որի p և q տարրերը պատկանում են նախապես որոշված համախմբության և բավարարում են (1) ին (տես Օղակ): Տես նաև Անընդհատ կոտորակ:

Գրկ. Депман, И.Я., история арифметики, 2 изд. М 1965.