ՀՍՀ/ԿՈՎԱՐԻԱՆՏ ԵՎ ԿՈՆՏՐԱՎԱՐԻԱՆՏ ՏԵՆԶՈՐ

ԿՈՎԱՐԻԱՆՏ ԵՎ ԿՈՆՏՐԱՎԱՐԻԱՆՏ ՏԵՆԶՈՐ, ԿՈՎԱՐԻԱՆՏ ԵՎ ԿՈՆՏՐԱՎԱՐԻԱՆՏ ՏԵՆ- ԶՈՐ, հասկացություն, որը կարևոր դեր է խաղում հանրահաշվի, երկրաչափության և ֆիզիկայի զանազան բաժիններում: Եթե En-ը ո-չափանի վեկտորական տարածություն է, իսկ (ei)-ն նրա որևէ բազիս, ապա E-ի ամեն մի վեկտոր, գծային ձև կամ գծային ձևափոխություն E-ի յուրաքանչյուր բազիսում որոշվում են թվերի որոշակի համակարգով, վեկտորը՝ իր կոորդինատներով, գծային ձևը՝ գործակիցներով, գծային ձևափոխութույնը՝ մատրիցով: Մի բազիսից մյուսին անցնելիս տվյալ օբյեկտը որոշող թվերի համակարգը ձևափոխվում է որոշակի ձևով, ընդ որում ձևափոխման օրենքը տարբեր օբյեկտների համար տարբեր է: Դիտարկվող օբյեկտի լրիվ բնութագրման համար անհրաժեշտ են ոչ միայն համապատասխան թվերի արժեքները, այլև թվերի համախմբության ձևափոխման օրենքը մյուս բազիսին անցնելու ժամանակ: Ձևակերպումների հարմարության համար ընդունված է նշանակումների հետևյալ համակարգը. x վեկտորի կոորդինատները (es) բազիսի նկատմամբ նշանակվում են xi-ով (i=1,2,..., n): A գծային ձևափոխության մատրիցի տարրերը նշանակվում են aji-ով, որտեղ վերևի ինդեքսը ցույց է տալիս տողի, իսկ ներքևի ինդեքսը՝ սյունի համարը: Ինդեքսների այսպիսի դասավորվածության նպատակահարմարությունը պայմանավորված է գումարման վերաբերյալ հետևյալ համաձայնությամբ. եթե տված է ո միանդամ արտահայտությունների գումար, ընդ որում գումարման i ինդեքսը գումարի ընդհանուր անդամում հանդիպում է երկու անգամ՝ մի անգամ վերևում, մյուս անգամ ներքևում, ապա գումարման նշանը բաց է թողնվում: Նոր բազիսին վերաբերվող մեծությունները նշանակվում են նույն նշաններով, բայց շտրիխներով նշված ինդեքսներով: Եթե pij-ն (ei), բազիսից (e') բազիսին անցման մատրիցի տարրն է, իսկ qij-ն՝ ետադարձ անցման մատրիցի տարրը, ապա   $e_i=p_i^{j}e{\text{'}}_j$ և $e{\text{'}}_i=q_i^j{e}_j$ Դիցուք տրված է T օբյեկտը, որը հնարավորություն է տալիս En ո-չափանի վեկտորական տարածության յուրաքանչյուր բազիսում սահմանել թվեր՝ aj1...jpi1...iq, որոնցից յուրաքանչյուրն ստացվում է i1, ..., iq և j1, ..., jp ին- դեքսներին տալով որոշակի արժեքներ 1-ից n: T-ն կոչվում է p անգամ կովարիանտ և q անգամ կոնտրավարիանտ տենզոր En-ի նկատմամբ, եթե նոր բազիսին անցնելիս ai1...iqj1...jp մեծությունները ձևափոխվում են a'i1...iqj1...jp = pi1i'1 ... piqi'q qj'1j1 ... qj'pjp ai1...iqj1...jp () բանաձևով: ai1...iqj1...jp թվերը կոչվում են T տենզորի բաղադրիչներ, իսկ p+q թիվը՝ նրա ռանգ կամ կարգ: Եթե միաժամանակ p>0 և q>0, ապա T-ն կոչվում է խառը տենզոր: p>0, q=0 դեպքում T-ն կոչվում է p անգամ կովարիանտ տենզոր և () բանաձևը ստանում է $a^{\prime }{j}_1...j_p=p^{i_1}{i}^{\prime }1\dots p^{i_p}{i}^{\prime }p{a}^{i_1...i_q}{j}_1...j_p$ տեսքը: p=0, q>0 դեպքում T-ն անվանում են q անգամ կոնտրավարիանտ տենզոր և (*) բանաձևը ստանում է $a{\text{'}}^{i_1...i_q}=q^{j^{\prime }1}{j}_1\dots q^{j^{\prime }q}{j}_q{a}_{j_1...j_p}^{i_1...i_q}$ տեսքը: Մեկ ռանգի տենզորներ Մեկ ռանգի տենզորները անվանում են վեկտորներ: Յուրաքանչյուր թիվ (սկալյար) ձևականորեն անվանում են 0 ռանգի տենզոր:

Տենզորների օրինակներ

1. E-ի x վեկտորի կոորդինատները մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են x'ⁱ = qⁱ₁ x¹ բանաձևով, հետևաբար, յուրաքանչյուր x∈Eⁿ վեկտոր կոնտրավարիանտ տենզոր է Eⁿ-ի նկատմամբ:

2. Eⁿ-ի վրա տրված f(x) գծային ձևի գործակիցները մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են a'_i = p_i^s a_s բանաձևով, հետևաբար յուրաքանչյուր f(x) գծային ձև կովարիանտ տենզոր է Eⁿ-ի նկատմամբ:

3. A գծային ձևափոխության մատրիցի տարրերը մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են a'ⁱ_j = pⁱ_s q^t_j a^s_t բանաձևով, հետևաբար A-ն երկրորդ խառը տենզոր է E-ի նկատմամբ, որում մեկ անգամ կովարիանտ և մեկ անգամ կոնտրավարիանտ:

Գրկ. Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре, М., 1971 Мальцев А.И., Основы линейной алгебры, М., 1956 Варден ван дер Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979 Шилов Г. Е., Конечномерные линейные пространства, М., 1969,