ՀՍՀ/ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐ

ԿՈՈՐԴԻՆԱՏՆԵՐ, կոօրդինատներ լատ. со (cum)—համատեղ և ordinatus— կարգավորված, որոշված, թվերի համախումբ, որի տրումով որոշվում է կետի դիրքը հարթության, կամայական մակերևույթի վրա կամ տարածության մեջ: Սիստեմատիկ կիրառություն գտած առաջին Կ. աստղագիտական և աշխարհագրական Կ. են՝ լայնությունն ու երկայնությունը, որոնցով որոշում ենկետի դիրքը երկնոլորտի կամ երկրագնդի մակերևույթի վրա (տես Երկնային կոորդինատների համակարգեր, կոորդինատներ աշխարհագրական): XIV դ. ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ն. Օրեմը գրաֆիկների կառուցման համար օգտվել է հարթ Կ-ից, անվանելով երկայնություն և լայնություն այն, ինչ այժմ կոչվում են աբսցիս (լատ.abscissus—կարված, հատված) և օրդինատ: Կ-ի մեթոդի ամբողջ նշանակությունը մաթեմատիկայում բացահայտվեց Ռ. Դեկարտի հետազոտությունների շնորհիվ: Այդ մեթոդը հնարավորություն է ընձեռում երկրաչափության խնդիրները փոխադրել մաթ. անալիզի լեզվի և ընդհակառակը՝ անալիզի փաստերը մեկնաբանել երկրաչափորեն: Բացի կետի Կ-ից, դիտարկում են նաև ուղղի, հարթության և երկրաչափական այլ օբյեկտների Կ.: Կետի Կ. հարթության վրա: Աֆինական կամ ընդհանուր դեկարտյան Կ-ի համակարգը հարթության վրա կառուցվում է որևէ O կետից (Կ-ի սկզբնակետ) ելնող և մի ուղղի վրա չգտնվող OA և OB վեկտորներով: P կետի դիրքը ընտրված համակարգում որոշվում է X = OX/OA (աբսցիս) և y = OY/OB (օրդինատ) Կ-ով, որտեղ PX-ը զուգահեռ է OB-ին, իսկ PY-ը՝ OA-ին (նկ. 1): Առանձնապես մեծ կիրառություն ունեն ուղղանկյուն դեկարտյան Կ., այսինքն՝ երբ OA և OB վեկտորներն ունեն նույն երկարությունը և ուղղահայաց են միմյանց: Եթե OA-ի և OB-ի երկարությունները հավասար են, իսկ նրանց կազմած անկյունը կամայական է, ապա Կ-ի համակարգը կոչվում է դեկարտյան շեղանկյուն: Հարթության վրա կետի բևեռային Կ. որոշում են ընտրելով O կետ (բևեռ), նրանից ելնող ON ճառագայթ (նկ. 2) և երկարության չափման միավոր: Այս համակարգում P կետի Կ. են ρ=OP հեռավորությունը և φ=∠NOP անկյունը: Բացառությամբ O կետի, որի համար ρ=0, իսկ ρ-ն որոշված չէ, հարթության մյուս բոլոր կետերի (ρ, φ) զույգերի միջև կարելի է ստեղծել փոխմիարժեք համապատասխանություն, եթե 0≤ρ<∞, 0≤≤φ<2π:

Աֆինական Կ-ի դեպքում x= const և y= const գծերը կազմում են համապա-տասխանաբար O_y և O_x առանցքներին զուգահեռ ուղիղների փունջ: Հարթության յուրաքանչյուր P(x_a,y_o) կետով անցնում է մեկական ուղիղ յուրաքանչյուր փնջից: Բևեռային Կ-ի դեպքում ρ= const գծերը շրջանագծեր են, իսկ φ= const գծերը՝ O սկզբնակետից ելնող ճառագայթներ: Օ-ից տարբեր մյուս բոլոր կետերից յուրաքանչյուրով անցնում են այդ երկու ընտանիքներից մեկական գիծ: Ավելի ընդհանուր դեպքում հարթության որևէ G տիրույթում դիտարկվում են u(P) և v(P) կետի ֆունկցիաներ այնպիսիք, որ յուրաքանչյուր u(P)= const qhd p v(P)= const qոն հատվում է ոչ ավելի, քան մեկ կետում: Ակնհայտ է, որ այդ դեպքում u(P) և v(P) թվերը միարժեքորեն որոշում P կետի դիրքը G տիրույթում, այսինքն դրանք P կետի Կ. են G տիրույթում (u= const, v= const գծերը կոչվում են կոորդինատային գծեր): Կորագիծ Կ. մակերևույթի վրա: Վերը շարադրված գաղափարը առանց որևէ փոփոխության կիրառելի է կամայական մակերևույթի վրա կորագիծ Կ. մուծելու համար: Օրինակ, ոլորտի վրա երկայնության և 0 լայնության դեպքում φ= const գծերը միջօրեականներ են, իսկ θ= const գծերը՝ զուգահեռականներ, որոնց դասավորվածությունը բոլորին քաջ հայտնի է աշխարհագրության տարրերից: Կետի Կ. տարածության մեջ: Աֆինական կամ ընդհանուր դեկարտյան Կ. եռաչափ տարածության մեջ մուծվում են O սկզբնակետի և մի հարթության մեջ չգտնվող e_s=OA e_g=OB, e₁=0C վեկտորների տրումով: P կետի x, y, z Կ. որոշվում են OP=xe_x+ye_y+ze_z (z-ը ապլիկատ): Եթե վեկտորները փոխուղղահայաց միևնույն երկարությունը, ապա Կ-ի համակարգը կոչվում է ուղղանկյուն դեկարտյան: Տարածության յուրաքանչյուր P(x_a,y_o,z_o) կետով անցնում է երեքական ուղիղ յուրաքանչյուր փնջից (այսինքն զուգահեռ նույն ուղղին): Ուղղանկյուն դեկարտյան Կ. կապվում են x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z բանաձևերով: Կոորդինատական գծերը (հարթություններ) ուղղանկյուն դեկարտյան Կ-ում x = const, y = const, z = const զուգահեռ են համապատասխանաբար yOz, xOz, xOy կոորդինատային հարթություններին: Կորագիծ Կ. մակերևույթի վրա: Վերը շարադրված գաղափարը առանց որևէ փոփոխության կիրառելի է կամայական մակերևույթի վրա կորագիծ Կ. մուծելու համար: Օրինակ, ոլորտի վրա երկայնության և 0 լայնության դեպքում φ= const գծերը միջօրեականներ են, իսկ θ= const գծերը՝ զուգահեռականներ, որոնց դասավորվածությունը բոլորին քաջ հայտնի է աշխարհագրության տարրերից: Կետի Կ. տարածության մեջ: Աֆինական կամ ընդհանուր դեկարտյան Կ. եռաչափ տարածության մեջ մուծվում են O սկզբնակետի և մի հարթության մեջ չգտնվող e_s=OA e_g=OB, e₁=0C վեկտորների տրումով: P կետի x, y, z Կ. որոշվում են OP=xe_x+ye_y+ze_z (z-ը ապլիկատ): Եթե վեկտորները փոխուղղահայաց միևնույն երկարությունը, ապա Կ-ի համակարգը կոչվում է ուղղանկյուն դեկարտյան: Տարածության յուրաքանչյուր P(x_a,y_o,z_o) կետով անցնում է երեքական ուղիղ յուրաքանչյուր փնջից (այսինքն զուգահեռ նույն ուղղին): Ուղղանկյուն դեկարտյան Կ. կապվում են x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z բանաձևերով: Կոորդինատական գծերը (հարթություններ) ուղղանկյուն դեկարտյան Կ-ում x = const, y = const, z = const զուգահեռ են համապատասխանաբար yOz, xOz, xOy կոորդինատային հարթություններին: Կորագիծ Կ. մակերևույթի վրա: Վերը շարադրված գաղափարը առանց որևէ փոփոխության կիրառելի է կամայական մակերևույթի վրա կորագիծ Կ. մուծելու համար: Օրինակ, ոլորտի վրա երկայնության և 0 լայնության դեպքում φ= const գծերը միջօրեականներ են, իսկ θ= const գծերը՝ զուգահեռականներ, որոնց դասավորվածությունը բոլորին քաջ հայտնի է աշխարհագրության տարրերից: Կետի Կ. տարածության մեջ: Աֆինական կամ ընդհանուր դեկարտյան Կ. եռաչափ տարածության մեջ մուծվում են O սկզբնակետի և մի հարթության մեջ չգտնվող $\overrightarrow{e_x}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{e_y}=\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{OC}$ վեկտորների տրումով: P կետի x, y, z Կ. որոշվում են $\overrightarrow{op}=x\overrightarrow{e_x}+y\overrightarrow{e_y}+z\overrightarrow{e_z}$ առնչությունից (z-ը կոչվում է P կետի ա պ լ ի կ ա տ): Եթե $\overrightarrow{e_x}$, $\overrightarrow{e_y}$, $\overrightarrow{e_z}$ վեկտորները փոխուղղահայաց են և ունեն միևնույն երկարությունը, ապա Կ-ի համակարգը կոչվում է ուղղանկյուն դեկարտյան: Տարածության մեջ կան երկու էապես տարբեր ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգեր՝ աջ (նկ. 3) և ձախ (նկ. 4): Տարածության մեջ մուծվում են նաև կորագիծ Կ-ի համակարգեր, որոնց ընդհանուր սխեման հետևյալն է. տարածության որևէ G տիրույթում դիտարկվում են կետի երեք ֆունկցիաներ՝ u(P), v(P) w(P) այնպես, որ G տիրույթի յուրաքանչյուր P կետով անցնում 1 u= const, v= const, w= const N ընտանիքներից մեկական մակերևույթ: Այսպիսով, յուրաքանչյուր կետի համապատասխանեցվում են ս, v, w թվեր՝ նրա Կ.: u= const, v=, w= const հիմ- սարումներով որոշվող մակերևույթները կոչվում են կոորդինատական մակերևույթներ: Կիրառություններում առանձնապես շատ են օգտագործվում կորագիծ Կ-ի 2 որոշ համակարգեր՝ ոլորտային Կ. և գլանային Կ.: Ոլորտային Կ. մուծվում են O կետի և O_x, O_y, O_z փոխուղղահայաց առանցքների տրումով (նկ. 5): M կետի Կ. են r-ը, θ-ն, φ-ն. r թիվը M կետի հեռավորությունն է O կետից, θ-ն՝ OM վեկտորի և O_z առանցքի դրական ուղղության միջև կազմված անկյունը, φ-ն այն անկյունն է, որով ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ պետք է պտտել O_x դրական կիսառանցքը, մինչև համընկնի ON վեկտորի հետ (N-ը M կետի պրոյեկցիան է xOy հարթության վրա): Ոլորտային և ուղղանկյուն դեկարտյան Կ. կապվում են x= rsinθcosφ, 3 y= rsinθsinφ, z= rcosθ բանաձևերով: M կետի x, y, z գլանային Կ. որոշվում են հետևյալ կերպ. Սևեռված O կետից տարվում են երեք փոխուղղահայաց առանցքներ՝ Ox, O_y, O_z; r-ը M կետի հեռավորությունն է z առանցքից, φ-ն՝ ON վեկտորի և O_x դրական կիսառանցքի կազմած անկյունը (N-ը M-ի պրոյեկցիան է xOy հարթության վրա), z-ը՝ M-ի հեռավորությունը xOy հարթությունից (նկ. 6): Գլանային և ուղղանկյուն դեկարտյան Կ. կապվում են $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$, $z=z$ բանաձևերով: