ՀՍՀ/ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՇԻՎ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՇԻՎ, մաթեմատիկական անալիզի բաժին, որն ուսումնասիրում է ածանցյալի և դիֆերենցիալի հատկությունները, հաշվման եղանակները և կիրառությունները: Որպես մաթ. ինքնուրույն առարկա Դ. հ. կազմավորվել է Ի. Նյուտոնի և Գ. Լայբնիցի աշխատանքների հիման վրա, որոնցում ձևակերպվել են Դ. հ-ի հիմնական դրույթները և ցույց տրվել ինտեգրման և դիֆերենցման փոխհակադարձ բնույթը: Այնուհետև Դ. հ. սկսել է զարգանալ ինտեգրալ հաշվի հետ սերտ կապված: Դ. հ-ի հիմնական հասկացություններն են ածանցյալը և դիֆերենցիալը: Կաղապար:Լայն: Դիցուք, պետք է հաշվել նյութական կետի ուղղագիծ շարժման արագությունը: Հավասարաչափ շարժման դեպքում կետի արագությունը սահմանվում է որպես որևէ ժամանակահատվածում անցած ճանապարհի հարաբերությունն այդ հատվածին: Անհավասարաչափ շարժվող կետի արագությունը համեմատական չէ ժամանակին, ուստի ամեն մի t պահի արագության մեծություն է ընդունվում [t, t+Δt] ժամանակահատվածում կետի շարժման միջին արագության $\left(\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}\right)$ սահմանային արժեքը՝ $v(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}$ (կոչվում է ակնթարթային արագություն): Նման տիպի սահմանի դիտարկման է հանգում նաև հարթ կորի որևէ М կետում շոշափող սահմանելոլ և կառուցելու խնդիրը: Դիցուք, կորը տրվում է y=f(x) հավասարումով: Շոշափող սահմանելու և դրա դիրքը որոշելու համար պետք է սահմանել և այնուհետև գտնել նրա անկյունային գործակիցը, այսինքն՝ շոշափողով և x առանցքով կազմված անկյան տանգենսը (tgα), որը սահմանվում է որպես որևէ MM₁ հատողի անկյունային գործակցի (tgβ) սահմանային արժեք, երբ x₁−x₀=Δx→0 (տես նկ.). $\mathrm{tg}\alpha =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{tg}\beta =$ $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$: Վերանայելով նման խնդիրների մեխանիկական կամ երկրաչափական բնույթից և ընդհանրացնելով նշված մոտեցումը՝ կարելի է հանգել «ածանցյալ» վերացական հասկացությանը. ֆունկցիայի ածանցյալ է կոչվում ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանը (եթե այն գոյություն ունի), երբ արգումենտի աճը ձգտում է 0-ի: y=f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը նշանակվում է $f^{\prime }(x),y^{\prime },dy/dx,df/dx,Df(x)$: f(x₁,...., x_n) ֆունկցիայի ածանցյալն ըստ որևէ փոփոխականի (եթե մյուսները սևեռած են) կոչվում է մասնակի ածանցյալ ըստ այդ փոփոխականի: Ֆունկցիայի ածանցյալի ածանցյալը (եթե գոյություն ունի) կոչվում է երկրորդ կարգի ածանցյալ և նշանակվում է $y^{″},f^{″}(x),\frac{d^{2}f}{d{x}^2},D^{2}f(x)$: Հանգունորեն սահմանվում և նշանակվում են ավելի բարձր (բնական) կարգի ածանցյալներն ու մասնակի ածանցյալները, ո-րդ կարգի ածանցյալները նշանակվում են $y^{(n)},f_{(x)}^{(n)},d^{n}f/d{x}^n,D^{n}f(x)$, իսկ մասնակի ածանցյալները՝ $\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x_1^{{\alpha }_1}...\partial x_n^{{\alpha }_n}}$, (${\alpha }_1+{\alpha }_2+....+{\alpha }_n=n$): Եթե ֆունկցիան x₀ կետում ունի ածանցյալ, ապա անընդհատ է այդ կետում: Հակառակ պնդումն, ընդհանրապես, ճիշտ չէ: Օրինակ, y=|x| ֆունկցիան անընդհատ է ամբողջ առանցքի վրա, բայց x=0 կետում չունի ածանցյալ, որովհետև Δy/Δx հարաբերության սահմանն այդ կետում գոյություն չունի: Ածանցյալի օգնությամբ որոշվում են բնագիտության մի շարք կարևոր հասկացություններ, օրինակ, հոսանքի ուժը և քիմ. ռեակցիայի արագությունը, համապատասխանաբար, որոշվում են $I=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }t}$ և $\omega =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}$ բանաձևով, որտեղ Δq-ն շղթայի հատվածքով Δt ժամանակում անցնող էլեկտրական լիցքի քանակն է, իսկ ΔQ-ն՝ նյութի քանակի փոփոխությունը Δt ժամանակում։ Ընդհանրապես, ըստ ժամանակի ածանցյալը պրոցեսի արագության չափանիշ է և կիրառելի է բնագիտական ամենատարբեր հասկացությունների համար: Կաղապար:Լայն: x₀ կետի որևէ շրջակայքում որոշված y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է դիֆերենցելի այդ կետում, եթե դրա $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ աճը հնարավոր է ներկայացնել $\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+\alpha \mathrm{\Delta }x$ տեսքով, որտեղ A=A(x₀) և $\alpha =\alpha (x,x_0)\to 0$, երբ x→x₀: АΔх-ը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալ և նշանակվում է dy կամ df(x): Դիֆերենցիալը ֆունկցիայի աճի գլխավոր (գծային) մասն է այն առումով, որ սևեռած x₀-ի դեպքում dy-ը գծայնորեն է կախված Δх-ից, և Δу—dy տարբերությունն անվերջ փոքր է Δх-ի համեմատությամբ: Քանի որ անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը նրա աճն է, այսինքն (dx=Δx), ուստի գրում են dy=Adx: Որպեսզի մեկ փոփոխականի f(x) ֆունկցիան x₀ կետում ունենա դիֆերենցիալ, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի այն x₀-ում ունենա (վերջավոր) ածանցյալ՝ $f^{\prime }(x_0)$: Այդ դեպքում $dy=f^{\prime }(x_0)dx$: Հետևաբար, $y^{\prime }=dy/dx$ հավասարության աջ մասը կարելի է հասկանալ ոչ միայն որպես ամբողջական սիմվոլ, այլև դիֆերենցիալների հարաբերություն: $dy=f^{\prime }(x)dx$ հավասարության շնորհիվ դիֆերենցիալ հաշվելու կանոններն անմիջականորեն բխում են ածանցյալ հաշվելու համապատասխան կանոններից: Ածանցյալի և դիֆերենցիալի գաղափարներն էապես տարբեր են. տվյալ կետում ածանցյալը թիվ է, իսկ դիֆերենցիալը՝ Δх-ի նկատմամբ գծային ֆունկցիա: Երկրաչափորեն դիֆերենցիալը (սևեռած x₀-ի և փոփոխվող Δх-ի դեպքում) ցույց է տալիս շոշափողի օրդինատի աճը, այսինքն՝ NT հատվածի երկարությունը: Դիֆերենցիալը սահմանվում է նաև շատ փոփոխականի ֆունկցիայի համար: Օրինակ, z=f(x,y) երկու փոփոխականի ֆունկցիան կոչվում է դիֆերենցելի, եթե նրա $\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$ լրիվ աճը հնարավոր է ներկայացնել $\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+\alpha$ տեսքով, որտեղ z-ն (х,у) և (x+Δx, y+Δy) կետերի հեռավորության համեմատությամբ անվերջ փոքր է: AΔx+ BΔy գումարը կոչվում է z=f(x,y) ֆունկցիայի լրիվ Կաղապար:Լայն, ուր $A=f{\text{'}}_x(x_0,y_0)$, $B=f{\text{'}}_y(x_0,y_0)$: Ի տարբերություն մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի, երկու փոփոխականի ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալների գոյությամբ չի ապահովվում ֆունկցիայի դիֆերենցելիությունը: Բայց եթե մասնակի ածանցյալները նաև անընդհատ են, ապա ֆունկցիան դիֆերենցելի է: Երկրաչափորեն երկու փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ցույց է տալիս նրա գրաֆիկի շոշափող հարթության աալիկատի աճը, երբ անկախ փոփոխականներն ստանում են Δх, Δу աճ: Բարձր կարգի դիֆերենցիալը սահմանվում է մակածմամբ (ինդուկցիայով). k-րդ կարգի դիֆերենցիալ համարվում է k-l-րդ կարգի դիֆերենցիալի դիֆերենցիալը՝ $d^{k}y=d(d^{k-1}y)$: Միայն պետք է նկատի ունենալ, որ անկախ փոփոխականի աճը կամայական է, բայց նույնը՝ բոլոր անհրաժեշտ փուլերում: Օրինակ, եթե y=f(x) ֆունկցիան ունի 2-րդ կարգի ածանցյալ և x-ը անկախ փոփոխական է, ապա $d^{2}y=d(dy)=d(y^{\prime }dx)=$ $=d(y^{\prime })dx+y^{\prime }d(dx)=y^{″}dxdx=y^{″}d{x}^2$ (և ոչ թե ydxd,x): Այստեղ $y^{\prime }d(dx)=0$, որովհետև d(dx)=0, եթե х-ը անկախ է: Կախյալ փոփոխականի դեպքում d(dx)≠0 և $d^{2}y=y^{″}d{x}^2+y^{\prime }{d}^{2}x$, այսինքն՝ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի ձևը փոխվում է (առաջին կարգի դիֆերենցիալի ձևը ինվարիանտ է. x-ի թե՛ կախյալ, թե՛ անկախ լինելու դեպքում՝ $dy=y^{\prime }dx$): Ուստի, $y^{″}=d^{2}y/d{x}^2$, $y^{(n)}=d^{n}y/d{x}^n$ առնչությունները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ x-ը դիտվում է որպես անկախ փոփոխական: Գործնականում դիֆերենցիալների օգնությամբ կարելի է հաշվել ֆունկցիաների արժեքներ և գնահատել դրանց սխալները: Օրինակ, x₁ կետում f(x) ֆունկցիայի արժեքը հաշվելու համար [եթե հայտնի են $f(x_0)$ և $f^{\prime }(x_0)$] պետք է ֆունկցիայի աճը փոխարինել իր դիֆերենցիալով: Ստացվում է $f(x_1)\approx f(x_0)+df(x_0)=$$f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_1-x_0)$ մոտավոր հավասարությունը, որի սխալը [եթե գոյություն ունի $f^{″}(x_0)$] մոտավորապես հավասար է $1/2d^{2}f{=}^1{/}_2{f}^{″}(x_0)(x_1-x_0{)}^2$: Դիֆերենցիալը սահմանվում է նաև շատ ավելի ընդհանուր դեպքում: Եթե f(x) ֆունկցիան (n+1) անգամ դիֆերենցելի է x₀ կետի Δ=(x₀−h, x₀+h) շրջակայքում, ապա գոյություն ունի այնպիսի ξ∈Δ, որ Δ-ում f(x)-ը ներկայացվում է

$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$ (*)

բանաձևով (Կաղապար:Լայն), որն ունի բազմաթիվ կարևոր կիրառություններ (երբ x₀=0, (*)-ը անվանում են Կաղապար:Լայն): Թեյլորի բանաձևը թույլ է տալիս տվյալ կետի շրջակայքում կամայական ողորկ (գուցե և շատ բարդ) ֆունկցիան բավական մեծ ճշտությամբ փոխարինել բազմանդամով, որն անհամեմատ ավելի պարզ ֆունկցիա է: Թեյլորի բանաձևը տեղի ուն նաև շատ փոփոխականի ողորկ ֆունկցիաների համար և սկզբունքային դեր է կատարում դրանց էքստրեմումների (մաքսիմումների և մինիմումների) հետազոտության հարցում: Դ. հ-ի կարևորագույն փաստերից է նաև անբացահայտ ֆունկցիայի (մասնավորապես հակադարձ ֆունկցիայի) գոյության վերաբերյալ թեորեմը:

Կաղապար:Լայն: Կորերի շոշափողների որոշման և փոփոխական մեծությունների առավելագույն և նվազագույն արժեքներ գտնելու վերաբերյալ որոշ խնդիրներ լուծել են դեռևս Հին Հունաստանի մաթեմատիկոսները: Նրանք, օրինակ, գտել են կոնական հատույթների և որոշ այլ կորերի շոշափողներ կառուցելու մեթոդներ, բայց դրանք կիրառելի էին միայն մասնակի դեպքերում և հեռու էին Դ. հ-ի գաղափարներից: Դ. հ., որպես մաթեմատիկայի ինքնուրույն բաժին, սկսել է կազմավորվել այն ժամանակ, երբ պարզ դարձավ, որ նշված խնդիրները, նույնատիպ այլ խնդիրների հետ (առանձնապես ակնթարթային արագություն որոշելու խնդրի) լուծվում են միևնույն մաթ. ապարատի օգնությամբ: Դ. հ. ստեղծելու առաջին փորձերն արել են XVII դ. Ռ. Դեկարտը, Պ. Ֆերման, և այլք: Մոտ 1666-ին Ի. Նյուտոնը մշակել է Կաղապար:Լայն, որտեղ հիմնական հասկացություններն էին ածանցյալը (ֆլյուքսիա) և անորոշ ինտեգրալը, որպես նախնական ֆունկցիա (ֆլյուենտա): XVII դ. 70-ական թվականներին Գ. Լայբնիցը մշակել է Դ. հ-ի բավական հարմար ալգորիթմ, որի հիմնական հասկացություններն էին դիֆերենցիալը և անորոշ ինտեգրալը, որպես անվերջ մեծ թվով դիֆերենցիալների գումար: Նրան են պատկանում դիֆերենցիալի և ինտեգրալի dx և ydx նշանակումները, դիֆերենցման մի շարք կանոններ և հենց «Դ. հ.» տերմինը: Դ. հ-ի հետագա զարգացումն ընթացել է Գ. Լայբնիցի նշած ուղիով: Այս փուլում մեծ դեր են կատարել Յա. և Յո. Բեռնուլի եղբայրների, Բ. Թեյլորի և այլոց աշխատանքները: Դ. հ-ի զարգացման հաջորդ փուլը սկսվել է Լ. Էյլերի և Ժ. Լագրանժի (XVIII դ.) աշխատանքներով: Լ. Էյլերը առաջինն է սկսել շարադրել Դ. հ. որպես երկրաչափությունից և մեխանիկայից անկախ, մաթեմատիկայի ինքնուրույն բաժին: Ֆունկցիաները աստիճանային շարքերի վերածելուց օգտվելով` Ժ. Լագրանժը փորձել է Դ. հ. հիմնավորել հանրահաշվորեն: Նրան են պատկանում $y^{\prime },f^{\prime }(x)$ նշանակումները: XIX դ. սկզբին, սահմանի տեսության հիման վրա բավարար չափով լուծվեց Դ. հ-ի խիստ հիմնավորման խնդիրը: Այդ արվեց գլխավորապես 0. Կոշիի, Բ. Բոլցանոյի և Կ. Գաուսի աշխատանքների շնորհիվ: Դ. հ-ի ելակետային հասկացությունների ավելի խոր վերլուծությունը կապված է XIX դ. վերջում ստեղծված բազմությունների տեսության և իրական փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության զարգացման հետ:

Գրկ. Կաղապար:Լայն И., Математические работы, пер. с латин.. М.—Л., 1937; Կաղապար:Լայն Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Կաղապար:Լայն У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Կաղապար:Լայն Г. М., Основы математического анализа,т. 1, 2, М., 1956.