ՀՍՀ/ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅՈՒՆ, երկրաչափության բաժին, ուր երկրաչափական պատկերներն ուսումնասիրվում են մաթեմատիկական անալիզի մեթոդներով: Ուսումնասիրության հիմնական օբյեկտներն են էվկլիդեսյան տարածության բավականաչափ ողորկ կորերն ու մակերևույթները, ինչպես նաև դրանց ընտանիքները Դ. ե. սովորաբար հետազոտում է երկրաչափական պատկերների կամայապես փոքր մասերի տեղային հատկությունները (Կաղապար:Լայն): Կորը տրվում է x= x(t), y=y(t), z=z(t) պարամետրական հավասարումներով: Բավականաչափ ողորկ կորի ցանկացած M կետում կարելի է կառուցել հպման հարթություն և շոշափող: Շոշափողը MN հատողի, իսկ հպման հարթությունը այդ շոշափողով և N կետով անցնող հարթության սահմանային դիրքն է, երբ N-ը կորի վրայով ձգտում է M-ին: M կետով անցնող և շոշափողին ուղղահայաց ուղիղները կոչվում են կորի նորմալներ: Հպման հարթությանը պատկանող նորմալը կոչվում է Կաղապար:Լայն, իսկ նրան ուղղահայացը՝ Կաղապար:Լայն: Կորը բնութագրող հիմնական մեծություններն են կորությունը (շոշափողի փոփոխման արագությունը) և ոլորումը (հպման հարթության փոփոխման արագությունը), որոնք համապատասխանաբար որոշվում են $k=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s},\sigma =\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }\beta }{\mathrm{\Delta }s}$ բանաձևերով, որտեղ Δs-ը MN աղեղի երկարությունն է, Δα-ն` M և N կետերում կորի շոշափողների, իսկ Δβ-ն՝ նույն կետերում հպման հարթությունների կազմած անկյունը: Կորերի ուսումնասիրության համար կարևոր են շոշափողի ($\bar{s}$), գլխավոր նորմալի ($\bar{n}$), բինորմալի ($\bar{s}$) միավոր վեկտորների և դրանց ածանցյալների միջև կապ հաստատող $\frac{d\bar{t}}{ds}=k\bar{n}$ $\frac{d\bar{n}}{ds}=-k\bar{t}+\sigma \bar{b}$, $\frac{d\bar{b}}{ds}=-\sigma \bar{n}$ բանաձևերը (Կաղապար:Լայն): Մակերևույթը (Տ) տրվում է x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v) պարամետրական հավասարումներով: Սևեռած V-ի (Ս-ի) դեպքում այդ հավասարումները Տ-ի վրա որոշում են գիծ, որը կոչվում է Ս-ի (V-ի) Կաղապար:Լայն: Ս, V մեծությունները կոչվում են ներքին կոորդինատներ (դրանցով մակերևույթի ցանկացած կետ հնարավոր է կառուցել՝ չառնչվելով պարփակող տարածությանը): Մակերևույթի վրա տրված $\bar{r}=\bar{r}(t)$ կորի համար $d{s}^2=d\stackrel{2}{\stackrel{‾}{r}}$, որտեղ s-ը կորի երկարությունն է: Նշանակելով $E={\bar{r}}_u^2,F={\bar{r}}_u{\bar{r}}_v$, $G={\bar{r}}_v^2$, կստանանք $d{s}^2=Ed{u}^2+2Fdudv+$ $Gd{v}^2$ (1): (1)-ի աջ մասը կոչվում է մակերևույթի առաջին քառակուսային ձև: $Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2$ արտահայտությունը, որտեղ $L={\bar{r}}_{uu}\bar{m},M={\bar{r}}_{uv}\bar{m},N=$${\bar{r}}_{vv}\bar{m}$, $\bar{m}=\frac{{\bar{r}}_u\times {\bar{r}}_v}{|{\bar{r}}_u\times {\bar{r}}_v|}$, կոչվում է մակերևույթի երկրորդ քառակուսային ձև: Առաջին քառակուսային ձևով որոշվում է մակերևույթի ներքին երկրաչափությունը, այսինքն՝ այն փաստերի ամբողջությունը, որոնք կարող են ստացվել մակերևույթի վրա չափումներ անելով, առանց պարփակող տարածություն դուրս գալու: Մակերևույթի՝ որպես բացարձակ ճկուն և չձգվող թաղանթի, դեֆորմացման (մակերևույթի Կաղապար:Լայն) դեպքում նրա ներքին երկրաչափությունը չի փոխվում: Երկրորդ քառակուսային ձևը տալիս է մակերևույթի տարածական ձևերի բնութագիրը: Առաջին և երկրորդ քառակուսային ձևերը մակերևույթը որոշում են տարածության մեջ ունեցած դիրքի ճշտությամբ: Դ. ե, ուսումնասիրում է նաև Կաղապար:Լայն. կորերը (միաչափ), մակերևույթները (երկչափ), սովորական էվկլիդեսյան տարածությունը (եռաչափ) և այն բազմաձևությունը, որի տարրերը սովորական էվկլիդեսյան տարածության ուղիղներ են (քառաչափ): XVIII դ. վերջին մակերևույթների տեսության մեջ կարևոր արդյունքներ են ստացել Լ. Էյլերը և Գ. Մոնժը, որոնք և համարվում են Դ. ե-ի հիմնադիրները: Դ. ե-ի զարգացման համար նշանակալից ավանդ են ներդրել Կ. Գաուսը, Կ. Պետերսոնը, Բ. Ռիմանը, Է. Կարտանը և այլք:

Գրկ. Կաղապար:Լայն Վ., Դիֆերենցիալ երկրաչափաթյուն, Ե., 1937: Կաղապար:Լայն Д. Дж., Очерк истории дифференциальной геометрии до XX столетия, пер. с, англ., М,—Л., 1941; Կաղապար:Լայն С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; Կաղապար:Լայն В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; Կաղապար:Լայն П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; Կաղապար:Լայն А.,В., Дифференциальная геометрия, 6 изд., М., 1974.