ՀՍՀ/ԳՐԻՆԻ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐ

ԳՐԻՆԻ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐ, տիրույթով և նրա եզրագծով տարածված ինտեգրալների միջև կապ հաստատող բանաձևեր:

${\oint }_{L}Pdx+Qdy=\underset{G}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$ բանաձևով (հայտնի էր դեռևս Լ. Էյլերին, 1771) կապվում են կրկնակի ինտեգրալը ըստ G տիրույթի և կորագիծ ինտեգրալն ըստ G-ի L եզրագծի։ Մյուս երկու բանաձևերը Ջ. Գրինը հրապարակել է 1828-ին՝ կապված պոտենցիալների տեսության հետազոտությունների հետ։ Դրանք են.

$\underset{G}{\iiint }(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z})dxdydz=\underset{S}{\iint }v\frac{\partial u}{\partial n}d\sigma -\underset{G}{\iiint }v\mathrm{\Delta }udxdydz$ (առաջին կամ նախնական Գ. բ. ) և

$\underset{G}{\iiint }(u\mathrm{\Delta }v-v\mathrm{\Delta }u)dxdydz=\underset{S}{\iint }(u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n})d\sigma ,$ որտեղ u, v ֆունկցիաները G տիրույթում որոշված ողորկ ֆունկցիաներ են, իսկ S-ը՝ G-ն սահմանափակող կտոր առ կտոր ողորկ մակերևույթ, $\mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$ (հանգունորեն $\mathrm{\Delta }v$-ն), $\frac{\partial u}{\partial n},\frac{\partial v}{\partial n}$ -երը ածանցյալներ են S-ի արտաքին նորմալի ուղղությամբ։