ՀՍՀ/ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ

ՀԱՆՐԱՀԱՇԻՎ, մաթեմատիկայի բաժին, ուսումնասիրում է հանրահաշվական գործողությունների ընդհանուր հատկությունները: Պատմականորեն Հ–ի առաջին խնդիրները կապված են եղել մեկ անհայտով հանրահաշվական հավասարումների լուծման հետ: Առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումների բերվող խնդիրների լուծման եղանակները հայտնի են եղել դեռևս անտիկ աշխարհում: Այդ եղանակները շարադրված են եղել բաբելոնական ձեռագրերում (XVIII դ. մ. թ. ա.), Էվկլդեսի աշխատություններում (III դ. մ. թ. ա.), չինացիների (I–I դդ. մ. թ. ա.) և հնդիկների (V–XII դդ.) մոտ, իսկ ավելի հանգամանորեն` Դիոֆանտի «Թվաբանություն» (III դ.) և Մուհամեդ ալ Խորեզմիի «Ալ–ջեբր ալ–մուկաբալա» (IX դ.) գրքերում: Սկսած ալ Խորեզմիի ժամանակներից` Հ. կարելի է դիտել որպես մաթեմատիկայի ինքնուրույն բաժին: XX դ. սկզբներին մաթեմատիկական հին ձեռագրերի ընթերցումով հայտնի է դարձել, որ ավելի քան 4000 տարի առաջ լուծված որոշ խնդիրներ համարժեք են մասնավոր տեսքի 3–րդ աստիճանի հավասարումների: Սակայն ընդհանուր տեսքի 3–րդ և 4–րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարումների լուծումները գտնվել են միայն XVI դ. իտալացի մաթեմատիկոսների ջանքերով (Ջ. Կարդանո, Լ. Ֆերարի և այլք): 3–րդ աստիճանի յուրաքանչյուր հավասարում բերվում է x³ + px + q = 0 տեսքի, որը լուծվում է՝

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

բանաձևով: Այսպիսով, 3–րդ և 4–րդ աստիճանի հավասարումների լուծումները (2–րդ աստիճանի հավասարումների լուծանքներին համանման) գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման, բնական ցուցչով աստիճան բարձրացնելու և արմատ հանելու գործողությունների օգնությամբ արտահայտվում են հավասարման գործակիցներով (լուծում արմատանշաններով): Այդ պնդումը ճիշտ է նաև 4–րդ աստիճանի հավասարումների համար: Այնուհետև մաթեմատիկոսները որոնել են այնպիսի բանաձևեր, որոնք համանման եղանակով կարտահայտեին ընդհանուր տեսքի 5–րդ աստիճանի հավասարման լուծումները` նրա գործակիցներով: Այդ որոնումները ապարդյուն շարունակվում էին ավելի քան 3 հարյուրամյակ, մինչև XIX դ. սկիզբը: Մինչ այդ, XVIII դ. վերջում Կ. Գաուսն ապացուցեց Հ–ի հիմնական թեորեմներից մեկը` կոմպլեքս թվերի դաշտում մեկ անհայտով ո–րդ աստիճանի յուրաքանչյուր հանրահաշվական հավասարում ունի ո արմատ (որոշ արմատներ կարող են կրկնվել): 1824–ին Ն. Աբելն ապացուցեց, որ մեկ անհայտով 5–րդ աստիճանի ընդհանուր հանրահաշվական հավասարումն արմատանշաններով չի լուծվում, իսկ 1830–ին Է. Գալուան գտավ արմատանշաններով հանրահաշվական հավասարումների լուծելիության ընդհանուր հայտանիշ: Մասնավորապես պարզվեց, որ յուրաքանչյուր ո≧5 բնական թվի համար գոյություն ունի արմատանշաններով չլուծվող ո–րդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում: Բազմաթիվ տեսական և կիրառական հարցեր բերվում են ոչ թե մեկ անհայտով մեկ հավասարման, այլ մի քանի անհայտներով հավասարումների համակարգի: Դեռևս 1670–ին Գ. Լայբնիցը, այնուհետև նաև Գ. Կրամերը (1750) նկատեցին, որ ո անհայտով m առաջին կարգի (գծային) հավասարումների (տես Գծային հավասարում) համակարգի հետազոտության համար կարևոր նշանակություն ունեն նրա գործակիցներից կազմված մատրիցը, և n m դեպքում` նրա որոշիչը (դետերմինանտը): Հետագայում մատրիցների տեսությունը գծային հավասարումների համակարգերի տեսության հետ մեկտեղ դառնում է գծային հանրահաշվի կարևոր մասը: XIX դ. 2–րդ կեսին Գալուայի հետազոտությունները խթանել են Հ–ի լայն զարգացումը, հիմք հանդիսացել հանրահաշվական նոր ուղղությունների առաջացման համար: Հանրահաշվական հավասարումների ուսումնասիրության փոխարեն աստիճանաբար Հ–ի ուսումնասիրության առարկա են դառնում հանրահաշվական գործողությունները: Հ–ի նկատմամբ այս նոր և ընդհանուր տեսակետը վերջնականապես ձևավորվում է XX դ. առաջին կեսում (շնորհիվ Դ. Հիլբերտի, հայազգի Է. Արթինի և Է. Նյոթերի հետազոտությունների), և Հ. դառնում է մաթեմատիկայի ամենաֆունդամենտալ և ամենակիրառական բաժիններից մեկը: Հ–ի գաղափարներն ու եղանակները ներթափանցում են մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ուղղությունները և որոշ չափով հանգեցնում մաթեմատիկայի «հանրահաշվականացմանը»: Դրանք հատկապես լայնորեն են կիրառվում ֆունկցիոնալ անալիզում, երկրաչափությունում, տոպոլոգիայում, դիֆերենցիալ հավասարումների և թվերի տեսության մեջ, ինչպես նաև տարրական մասնիկների ֆիզիկայում, պինդ մարմնի ֆիզիկայում, ավտոմատների և կոդավորումների տեսություններում և այլուր: Ժամանակակից Հ. զարգանում է բազմաթիվ ուղղություններով` խմբերի տեսություն, օղակների և մոդուլների տեսություն, Կավարի տեսություն, ունիվերսալ հանրահաշիվների և մոդելների տեսություն ևն: Ժամանակակից Հ–ի զարգացման գործում նշանակալի ավանդ ունեն սովետական մաթեմատիկոսներ Դ. Ա. Գրավեն, Ս. Օ. Շատունովսկին, Օ. Յու. Շմիդտը, Ա. Գ. Կուրոշը, Ա. Ի. Մալցևը, Ս. Ի. Ադյանը և ուրիշներ:

Գրկ. Կուրոշ Ա. Գ., Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց, Ե., 1965: Бурбаки Н., Алгебра, пер. с франц. (гл. 1–9), М., 1962–66 Ван дер Варден Б.Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1979 В ir к hoff G., Machane S., A Survay of Modern Algebra, N. У., 1965.