Դիտել ՀՍՀ/ԿՈՎԱՐԻԱՆՏ ԵՎ ԿՈՆՏՐԱՎԱՐԻԱՆՏ ՏԵՆԶՈՐ էջի վիքիկոդը

{{ՀՍՀ
| ԱՆՎԱՆՈՒՄ = ԿՈՎԱՐԻԱՆՏ ԵՎ ԿՈՆՏՐԱՎԱՐԻԱՆՏ ՏԵՆԶՈՐ 
| ՆԱԽՈՐԴ = ԿՈՎԱՆՈՑ
| ՀԱՋՈՐԴ = ԿՈՎԵԼԻՆ 
| ՀԱՏՈՐ = 5
| ՏԱՌ = Կ
| ՏԱՐԻ = 1979
}}

'''ԿՈՎԱՐԻԱՆՏ ԵՎ ԿՈՆՏՐԱՎԱՐԻԱՆՏ ՏԵՆԶՈՐ''', ԿՈՎԱՐԻԱՆՏ ԵՎ ԿՈՆՏՐԱՎԱՐԻԱՆՏ ՏԵՆ- ԶՈՐ, հասկացություն, որը կարևոր դեր է խաղում հանրահաշվի, երկրաչափության և ֆիզիկայի զանազան բաժիններում: Եթե E<sub>n</sub>-ը ո-չափանի վեկտորական տարածություն է, իսկ (e<sub>i</sub>)-ն նրա որևէ բազիս, ապա E-ի ամեն մի վեկտոր, գծային ձև կամ գծային ձևափոխություն E-ի յուրաքանչյուր բազիսում որոշվում են թվերի որոշակի համակարգով, վեկտորը՝ իր կոորդինատներով, գծային ձևը՝ գործակիցներով, գծային ձևափոխութույնը՝ մատրիցով: Մի բազիսից մյուսին անցնելիս տվյալ օբյեկտը որոշող թվերի համակարգը ձևափոխվում է որոշակի ձևով, ընդ որում ձևափոխման օրենքը տարբեր օբյեկտների համար տարբեր է: Դիտարկվող օբյեկտի լրիվ բնութագրման համար անհրաժեշտ են ոչ միայն համապատասխան թվերի արժեքները, այլև թվերի համախմբության ձևափոխման օրենքը մյուս բազիսին անցնելու ժամանակ: Ձևակերպումների հարմարության համար ընդունված է նշանակումների հետևյալ համակարգը. x վեկտորի կոորդինատները (e<sup>s</sup>) բազիսի նկատմամբ նշանակվում են x<sup>i</sup>-ով (i=1,2,..., n): A գծային ձևափոխության մատրիցի տարրերը նշանակվում են a<sub>j</sub><sup>i</sup>-ով, որտեղ վերևի ինդեքսը ցույց է տալիս տողի, իսկ ներքևի ինդեքսը՝ սյունի համարը: Ինդեքսների այսպիսի դասավորվածության նպատակահարմարությունը պայմանավորված է գումարման վերաբերյալ հետևյալ համաձայնությամբ. եթե տված է ո միանդամ արտահայտությունների գումար, ընդ որում գումարման i ինդեքսը գումարի ընդհանուր անդամում հանդիպում է երկու անգամ՝ մի անգամ վերևում, մյուս անգամ ներքևում, ապա գումարման նշանը բաց է թողնվում: Նոր բազիսին վերաբերվող մեծությունները նշանակվում են նույն նշաններով, բայց շտրիխներով նշված ինդեքսներով: Եթե p<sub>i</sub><sup>j</sup>-ն (e<sub>i</sub>), բազիսից (e') բազիսին անցման մատրիցի տարրն է, իսկ q<sub>i</sub><sup>j</sup>-ն՝ ետադարձ անցման մատրիցի տարրը, ապա   
<math>e_i = p_i^j e'_j</math>
և
<math>e'_i = q_i^j e_j</math>
Դիցուք տրված է T օբյեկտը, որը հնարավորություն է տալիս En ո-չափանի վեկտորական տարածության յուրաքանչյուր բազիսում սահմանել թվեր՝ a<sub>j<sub>1</sub>...j<sub>p</sub></sub><sup>i<sub>1</sub>...i<sub>q</sub></sup>, որոնցից յուրաքանչյուրն ստացվում է i<sub>1</sub>, ..., i<sub>q</sub> և j<sub>1</sub>, ..., j<sub>p</sub> ին- դեքսներին տալով որոշակի արժեքներ 1-ից n: T-ն կոչվում է p անգամ կովարիանտ և q անգամ կոնտրավարիանտ տենզոր E<sup>n</sup>-ի նկատմամբ, եթե նոր բազիսին անցնելիս a<sup>i<sub>1</sub>...i<sub>q</sub></sup><sub>j<sub>1</sub>...j<sub>p</sub></sub> մեծությունները ձևափոխվում են a'<sup>i<sub>1</sub>...i<sub>q</sub></sup><sub>j<sub>1</sub>...j<sub>p</sub></sub> = p<sup>i<sub>1</sub></sup><sub>i'<sub>1</sub></sub> ... p<sup>i<sub>q</sub></sup><sub>i'<sub>q</sub></sub> q<sup>j'<sub>1</sub></sup><sub>j<sub>1</sub></sub> ... q<sup>j'<sub>p</sub></sup><sub>j<sub>p</sub></sub> a<sup>i<sub>1</sub>...i<sub>q</sub></sup><sub>j<sub>1</sub>...j<sub>p</sub></sub> () բանաձևով: a<sup>i<sub>1</sub>...i<sub>q</sub></sup><sub>j<sub>1</sub>...j<sub>p</sub></sub> թվերը կոչվում են T տենզորի բաղադրիչներ, իսկ p+q թիվը՝ նրա ռանգ կամ կարգ: Եթե միաժամանակ p>0 և q>0, ապա T-ն կոչվում է խառը տենզոր: p>0, q=0 դեպքում T-ն կոչվում է p անգամ կովարիանտ տենզոր և () բանաձևը ստանում է
<math>a'{j_1...j_p} = p^{i_1}{i'1} \dots p^{i_p}{i'p} a^{i_1...i_q}{j_1...j_p}</math>
տեսքը: p=0, q>0 դեպքում T-ն անվանում են q անգամ կոնտրավարիանտ տենզոր և (*) բանաձևը ստանում է
<math>a'^{i_1...i_q} = q^{j'1}{j_1} \dots q^{j'q}{j_q} a^{i_1...i_q}_{j_1...j_p}</math>
տեսքը:
Մեկ ռանգի տենզորներ
Մեկ ռանգի տենզորները անվանում են վեկտորներ: Յուրաքանչյուր թիվ (սկալյար) ձևականորեն անվանում են 0 ռանգի տենզոր:

Տենզորների օրինակներ

1. E-ի x վեկտորի կոորդինատները մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են x'<sup>i</sup> = q<sup>i</sup><sub>1</sub> x<sup>1</sup> բանաձևով, հետևաբար, յուրաքանչյուր x∈E<sup>n</sup> վեկտոր կոնտրավարիանտ տենզոր է E<sup>n</sup>-ի նկատմամբ: 

2. E<sup>n</sup>-ի վրա տրված f(x) գծային ձևի գործակիցները մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են a'<sub>i</sub> = p<sub>i</sub><sup>s</sup> a<sub>s</sub> բանաձևով, հետևաբար յուրաքանչյուր f(x) գծային ձև կովարիանտ տենզոր է E<sup>n</sup>-ի նկատմամբ: 

3. A գծային ձևափոխության մատրիցի տարրերը մի բազիսից մյուսին անցնելիս ձևափոխվում են a'<sup>i</sup><sub>j</sub> = p<sup>i</sup><sub>s</sub> q<sup>t</sup><sub>j</sub> a<sup>s</sup><sub>t</sub> բանաձևով, հետևաբար A-ն երկրորդ խառը տենզոր է E-ի նկատմամբ, որում մեկ անգամ կովարիանտ և մեկ անգամ կոնտրավարիանտ:

''Գրկ. Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре, М., 1971 Мальцев А.И., Основы линейной алгебры, М., 1956 Варден ван дер Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979 Шилов Г. Е., Конечномерные линейные пространства, М., 1969,''