ՀՍՀ/ՀԻԼԲԵՐՏՅԱՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԻԼԲԵՐՏՅԱՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ, արդի մաթեմատիկայի կարևոր հասկացություններից: Ձևավորվել է XX դ. սկզբին, գերմանացի մաթեմատիկոս Դ. Հիլբերտի աշխատություններում արտահայտված գաղափարների ազդեցությամբ.

Հ. տ–յան սահմանման մեջ հանդես եկող հիմնական հասկացությունը ներքին կամ սկալյար արտադրյալն է: Այդպես կոչվում է այն արտապատկերումը, որը կոմպլեքս (կամ իրական) H գծային տարածության տարրերի (վեկտորների) յուրաքանչյուր x, y զույգին համապատասխանեցնում է կոմպլեքս (իրական) (x, y) թիվ և H-ի կամայական x, y, z տարրերի և λ կոմպլեքս (իրական) թվի համար բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝

(x, x)≥0, ընդ որում (x, x)= 0 միայն x=0 դեպքում,

(x+y, z)= (x, z)+(y, z),

(λx, y)=λ(x, y),

եթե (y, x)= a+iß, ապա (x, y)= a-iß, այսինքն՝ (x, y)=$\overline{(y,x)}$: p(x,y)=(x-y, x-y) և ||x||= $\sqrt{(x,x)}$ մեծությունները համապատասխանաբար որոշում են x և y վեկտորների միջև հեռավորությունը և x վեկտորի երկարությունը (նորմը), որոնց միջոցով H-ում ներմուծվում է մետրիկական ու նորմավորված տարածությունների կառուցվածք: Ներքին արտադրյալով օժտված գծային տարածությունը, որը լրիվ է որպես մետրիկական տարածություն, կոչվում է Հ. տ.: Հ. տ. էվկլիդեսյան տարածության (տես Մետրիկական տարածություն) հասկացության լայն ընդհանրացումն է: Հ. տ-յան կարևոր օրինակ է α= (α₁,α₂,...), (1/2+2/2+<∞) հաջորդականությունների 1² գծային տարածությունը՝ (a,b)= α₁β₁+α₂β₂+... ներքին արտադրյալով:

Սեպարաբել Հ. տ. պարունակում է օրթոնորմալ բազիս, այսինքն՝ տարրերի այնպիսի {en} համակարգը (||en||=1, (en, em)=0, m≠n), որի կամայական x տարր ունի միարժեք ներկայացում՝

$x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}_n$,

որտեղ cn-երը թվեր են, իսկ շարքը զուգամիտում է H-ի նորմով: Վերը նշված 1² տարածությունը սեպարաբել է, որում օրթոնորմալ բազիս է, օրինակ,

e₁= (1, 0, 0,...), e₂=(0, 1, 0,...)

վեկտորների համակարգը: Հ. տ–ների իզոմորֆիզմ ասելով հասկանում են գծային կա r ուցվածքը և ներքին արտադրյալը պահպանող փոխմիարժեք համապատասխանությունը: Բոլոր սեպարաբել Հ. տ–ները իզոմորֆ են: Հ. տ–յան կիրառությունների ոլորտը ապահովվում է, առաջին հերթին, Հ. տ–ում գծային օպերատորների խոր և բովանդակալից տեսությամբ, որը լայնորեն օգտագործվում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բազմաթիվ բնագավառներում` դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների տեսությունում, ֆունկցիոնալ անալիզում, քվանտային մեխանիկայում ևն:

Գրկ. Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польского, М., 1965 X алмош П., Гильбертово пространство в задачах, пер. с англ., М., 1970 Саймон Б., Рид М., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1, М., 1977. Վ. Արզումանյան