ՀՍՀ/ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ

ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅՈՒՆ, մաթեմատիկայի ճյուղ, որը զբաղվում է իրական աշխարհի պատահական երևույթների մոդելների կառուցմամբ և դրանց հատկությունների ուսումնասիրությամբ: Հավանականության հասկացության հիմքում ընկած է էմպիրիկական այն գիտելիքը, որ պատահական բնույթ ունեցող նույնատիպ և անկախ փորձերի երկար հաջորդականություններում տվյալ արդյունքի (պատահույթի) երևան գալու հաճախականությունը մնում է մոտավորապես հաստատուն: Այն երևույթները, որտեղ դիտվում է հաճախականությունների կայունություն, կոչվում են վիճակագրական օրինաչափությունների ենթարկվող երևույթներ: Այսպես, զառը նետելու փորձերի բավական երկար հաջորդականությունում «վեցի» հանդես գալու հաճախականությունը այսինքն` n N հարաբերությունը, որտեղ N–ը փորձերի (այսինքն` զառը նետելու), իսկ ո– ը «վեցերի» քանակն է միշտ մոտ է լինում 1/6–ին: Մոլեխաղերում խաղագումարների որոշման կանոններում հաշվի են առնվում համապատասխան վիճակագրական օրինաչափությունները: Այդ հանգամանքը թույլ է տալիս ենթադրել, որ վերջիններս հայտնի են եղել դեռևս անտիկ աշխարհում: Նույնպես հնուց հայտնի են ծննդի և մահվան հետ կապված վիճակագրական օրինաչափություններ (օրինակ, ժամանակակից տվյալներով նորածնի տղա լինելու հավանականությունը հավասար է 0,515): Հատկապես ապահովագրական և բանկային գործերի վարելը ենթադրում է նշված և նման վիճակագրական օրինաչափությունների մասին որոշ պատկերացումների առկա լինելը: Բնագիտության զարգացման ընթացքում բազմաթիվ վիճակագրական օրինաչափություններ են հայտնաբերվել ֆիզիկայում, քիմիայում, կենսաբանությունում ևն: Հ. տ–յան առաջին խնդիրները դեռևս XVII դ. լուծել են Պ. Ֆերման, Բ. Պասկալը և Ք. Հյուգենսը: Հ. տ–յանը վերաբերող առաջին մենագրությունը պատկանում է Յա. Բեռնուլիին: Մինչև Հ. տ–յան ձևական աքսիոմատիկայի հանդես գալը (Ա. Ն. Կոլմոգորով, 1934) Հ. տ. գլխավորապես հայտնի համարվող հավանականությունների միջոցով անհայտ հավանականություններ գտնելու եղանակների հավաքածու էր: Լուծվում էին բնագիտության թելադրած կոնկրետ խնդիրներ, օրինակ, Կ. Գաուսի ստեղծած սխալների տեսությունը (պայմանավորված էր աստղագիտական չափումների մշակման պահանջներով) կամ Ջ. Մաքսվելի և Լ. Բոլցմանի օրենքները գազերի կինետիկ տեսությունում: Հ. տ–յան աքսիոմատիկայի ստեղծման խնդիրը (Դ. Հիլբերտի հռչակավոր պրոբլեմներից էր) լուծվեց չափի տեսության տերմիններով և այդ առաջ քաշեց Հ. տ–յան ներքին, զուտ մաթեմատիկական խնդիրներ (այդ թվում` հիմնավորման և ճշգրտության հարցեր), որոնց լուծման աշխատանքը ներկայումս շարունակվում է: Չափի տեսության մեջ Հ. տ. առանձնանում է շնորհիվ այն հատուկ նշանակության, որը Հ. տ. տալիս է պատահույթների անկախության հասկացությունը: Հ. տ–յան հիմնական հասկացությունները պարզագույն ձևով նկարագրվում են, այսպես կոչված, տարրական Հ. տ–յան սահմաններում: Այստեղ ամեն մի փորձ կարող է ունենալ միայն վերջավոր թվով արդյունքներ՝ 01,..., Ok տարրական արդյունքներ: Յուրաքանչյուր w, արդյունքի հետ կապվում է (P_{k}>0) թիվը, $\sum _{i=1}^k{P}_i=1$: Յուրաքանչյուր A պատահույթ կայանում է նրանում, որ իրականանում է կամ 0, կամ w, կամ w,.... կամ w: A պատահույթի P(A) հավանականությունը հավասար է $P_1+P_2+...+P_i$: Այն հատուկ դեպքում, երբ $P_1=P_2=...=P_k=\frac{1}{k}$, ստացվում է $P(A)=\frac{r}{k}$, որտեղ r-ը A-ին նպաստող տարրական արդյունքների, իսկ k-ն բոլոր տարրական արդյունքների քանակն է: k թվի հաշվարկումը հաճախ բարդ կոմբինատորային խնդիր է: Օրինակներ. 1. մի զույգ զառ նետելու փորձում A-ն սահմանենք այսպես՝ «միավորների գումարը հինգից պակաս է»: Այստեղ k=36, r=6, $P(A)=\frac{1}{6}$: 2. Արկղում գտնվում են չորս սպիտակ և մեկ սև գնդեր, պատահականորեն հանվում է գնդերից մեկը և որոշվում նրա գույնը, այնուհետև գունդը ետ է դրվում: Այդ գործողությունը կրկնվում է 100 անգամ: A պատահույթը սահմանենք այսպես. «սև գնդերի երևան գալու թիվը 7-ից մեծ է, բայց 33-ից փոքր»: P(A)-ն գտնելու խնդիրը բերվում է դասական դեպքին: Բավական է ենթադրել, որ գնդերը համարակալված են, դիցուք՝ սև գունդը կրում է 1 համարը: Տարրական արդյունք են համարվում գնդերի համարների՝ 100 անդամներից բաղկացած հաջորդականությունները, հետևաբար՝ $k=5^{100}$, $r=\sum _{m=8}^{32}{C}_{100}^m{4}^{100-m}$: $P(A)=\frac{r}{k}$ մոտավոր արժեքը Լապլասի թեորեմի համաձայն հավասար է $P(A)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-3}{\overset{3}{\int }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz=0.9973$

(սխալը չի գերազանցում 0,0009): Սև գնդերի միջին թիվը՝ մաթեմատիկական սպասումը, հավասար է 100 * (1/5) = 20: Աշխարհագրական ցույց է տալիս, որ սև գնդերի քանակը 20-ից ավելի քան 12-ով շեղվելը չափազանց քիչ հավանական է (գործնականում հնարավոր չէ)։ Լապլասի թեորեմի կիրառումը այստեղ հնարավոր է այն պատճառով, որ հանվող գնդերի համարները անկախ պատահական մեծություններ են։ Անկախ պատահական մեծությունների գումարները ուսումնասիրվում են <...> -յան սահմանային թեորեմների միջոցով։ Պարզագույն սահմանային թեորեմներն են՝ Բեռնուլիի թեորեմը, որը հաստատում է անկախ փորձերի դեպքում տվյալ A պատահույթի դիտվող հաճախականության և P(A)-ի իրար մոտ լինելը, Լապլասի թեորեմը, որի միջոցով հարմար է գնահատել հաճախականության՝ P(A)-ից շեղումների հավանականությունները։ Մեծ թվերի օրենքների հետ մեկտեղ սահմանային թեորեմները դիտվում են որպես <...> -յան մոդելների կիրառականության հաստատում: Ժամանակակից Հ. տ. չի սահմանափակվում պատահական փորձերի դիսկրետ մոդելներով, այլ դիտարկում է ամբողջ իրական առանցքից արժեքներ ընդունող պատահական մեծություններ, բազմաչափ պատահական մեծություններ և դրանց անվերջ հաջորդականություններ, ինչպես և պատահական ֆունկցիաներ` պատահական պրոցեսներ: Առավել բարդ պատահական օբյեկտներ ուսումնասիրելիս Հ. տ. օգտագործում է համապատասխան բարդ և նուրբ մաթեմատիկական միջոցներ: Օրինակ, բրոունյան շարժման Հ. տ–յան մոդելը հնարավոր եղավ կառուցել միայն օգտագործելով անընդհատ, բայց ոչ մի կետում շոշափող չունեցող հետագծեր` մի գաղափար, որը դեռնս անցյալ դարի վերջում մաթեմատիկական գրոտեսկ էր համարվում: Ժամանակակից Հ. տ–յան ճյուղերն են` ինֆորմացիայի տեսությունը, խաղերի տեսությունը, մասսայական սպասարկման տեսությունը, ստոխաստիկ երկրաչափությունը: Հ. տ–յան հակադարձ խնդիրը լուծում է մաթեմատիկական վիճակագրությունը:

Գրկ. Марков А, А., Исчисление вероятностей, 4 изд,, М., 1924 Колмогоров А.Н., Основные понятия теории вероятностей, пер. с нем., М.–Л., 1936 Бернштейн С. Н,, Теория вероятностей, 4 изд., М.– Л., 1946 Гнеденко Б, В., Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., М.–Л., 1952: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965 Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложение (Дискретные распределения), пер. с англ., 2 изд., т. 1–2, М., 1967.

Ռ. Համբարձումյան