ՀՍՀ/ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ ՏՈՊՈԼՈԳԻԱ

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ ՏՈՊՈԼՈԳԻԱ, մաթեմատիկայի բնագավառ, որտեղ հանրահաշվական հասկացությունների և մեթոդների օգնությամբ ուսումնասիրվում են երկրաչափական պատկերների այնպիսի հատկություններ, որոնք անփոփոխ են մնում հոմոտոպիաների (անընդհատ դեֆորմացիաների) ժամանակ: Հոմոտոպիան Հ. տ–ի հիմնական հասկացություններից է և սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ $f,g:X\to Y$ անընդհատ արտապատկերումները, որտեղ $X$ և $Y$ տոպոլոգիական տարածություններ են, կոչվում են միմյանց (ազատ) հոմոտոպ, եթե գոյություն ունի $t\in [0,1]$ պարամետրից կախված $h_t:X\to Y$ անընդհատ արտապատկերումների այնպիսի ընտանիք, որ $h_0=f$, $h_1=g$ և $F(x,t)=h_t(x)$ բանաձևով որոշվող $F:X\times [0,1]\to Y$ արտապատկերումը անընդհատ է։ Օրինակ, եթե $X$-ը կամայական տարածություն է, իսկ $Y\subset R^n$-ը՝ ուռուցիկ բազմություն, ապա յուրաքանչյուր երկու $f,g:X\to Y$ արտապատկերումներ իրար հոմոտոպ են [$h_t(x)=(1-t)f(x)+t\cdot g(x)$]։ Յուրաքանչյուր այդպիսի $h_t$ ընտանիք (ինչպես նաև համապատասխան $F$ արտապատկերումը) կոչվում է $f$-ը $g$-ի տանող հոմոտոպիական անընդհատ դեֆորմացիա։ Հ. տ. ուսումնասիրում է տոպոլոգիական տարածությունների և անընդհատ արտապատկերումների հետևյալ հիմնական տիպերը` պոլիէդրները (սիմպլեքսային, վանդակային), բազմաձևությունները (տոպոլոգիական, ողորկ, անալիտիկ), շերտավորումները (վեկտորական, գլխավոր, ողորկ), անընդհատ, ողորկ անալիտիկ ներդրումները, ընկղմումները: Հ. տ–ի հիմնական պրոբլեմներից են` բազմաձևությունների դասակարգումը հոմեոմորֆիզմի տարբեր ձևերի նկատմամբ, անընդհատ արտապատկերումների հոմոտոպիական դասակարգումը, պոլիէդրների և բազմաձևությունների դասակարգումը հոմոտոպիական համարժեքության նկատմամբ. $X$ և $Y$ տարածությունները կոչվում են հոմոտոպորեն համարժեք, եթե գոյություն ունեն այնպիսի $f:X\to Y$ և $g:Y\to X$ անընդհատ արտապատկերումներ, որ $g\circ f$ և $f\circ g$-ն համապատասխանաբար հոմոտոպ են $1_X$, $1_Y$ նույնական արտապատկերումներին։

Հ. տ-ի ամենազարգացած բաժինը, որն ունի բազմաթիվ կարևոր կիրառություններ մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, հոմոլոգիաների տեսությունն է (տես Կոմբինատորային տոպոլոգիա):։ Հ. տ-ի կարևոր բաժիններից է հոմոտոպիաների տեսությունը, որի հիմնական հասկացություններից մեկը $X$ տարածության ${\pi }_n(X,x_0)$ $n$-չափանի հոմոտոպիական խումբն է. ${\pi }_1(X,x_0)$ խումբը նաև կոչվում է Պուանկարեի խումբ։

Գրկ. Xy Сыцзян, Теория гомотопий, пер. с англ., М., 1964 Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л., Гомотопическая топология, пер. с англ., М., 1969 Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971.

Է. Միրզախանյան