ՀՍՀ/ԿՈՆԱԿԱՆ ՀԱՏՈՒՅԹՆԵՐ

ԿՈՆԱԿԱՆ ՀԱՏՈՒՅԹՆԵՐ, կորեր, որոնք ստացվում են ուղիղ շրջանային կոնը իր գագաթով չանցնող հարթություններով հատելիս: Կ. հ. լինում են երեք տիպի. 1. հարթությունը հատում է կոնի մի խոռոչի բոլոր ծնիչները (նկ. ա), հատման գիծը ձվածիր կոր է՝ էլիպս: Շրջանագիծը, որպես էլիպսի մասնավոր դեպք, ստացվում է, երբ հատող հարթությունը ուղղահայաց է կոնի առանցքիս: 2. Հատող հարթությունը զուգահեռ է կոնի որևէ շոշափող հարթության (նկ. բ), հատումից ստացվում է ոչ փակ անվերջ կոր՝ պարաբոք. 3. Հարթությունը հատում է կոնի երկու խոռոչները (նկ. գ), հատման գիծը (հիպերբու) կազմված է երկու ոչ փակ անվերջ կորերից (հիպերբոլի ճյուղեր): Սիմետրիայի կենտրոն ունեցող Կ. հ-ի (էլիպս, հիպերբոլ) հավասարումները կարելի է բերել $a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2=a_{33}$ տեսքի (եթե կոորդինատների սկզբնակետը տեղափոխվի սիմետրիայի կենտրոն): Դրանց հավասարումները բերվում են նաև պարզ՝ $A{x}^2+B{y}^2=C(1)$ տեսքի, եթե որպես կոորդինատական առանցքներ ընտրվեն սիմետրիայի առանցքները: Եթե A, B, C-ն ունեն նույն նշանը, ապա (1) հավասարումը որոշում է էլիպս, իսկ եթե A-ն ու B-ն տարբեր նշաններ ունեն՝ հիպերբոլ: Պարաբոլի հավասարումը (1) տեսքի չի բերվում. կոորդինատական առանցքների հարմար ընտրության դեպքում (մի առանցքը պարաբոլի սիմետրիայի առանցքն է, իսկ մյուսը՝ նրան ուղղահայաց և պարաբոլի գագաթով անցնող ուղիղը) այն կարելի է բերել $y^2=2px$ տեսքի: Կ. հ. հայտնի էին դեռևս Հին Հունաստանի մաթեմատիկոսներին, որոնք այդ կորերի օգնությամբ լուծում էին կարկին-քանոնով չլուծվող որոշ կառուցման խնդիրներ (օրինակ, խորանարդի կրկնապատկման խնդիրը ևն): Մեզ հասած աշխատություններից առաջիններում հույն երկրաչափները Կ. հ. ստանում էին կոնը հատելով նրա ծնիչներից որևէ մեկին ուղղահայաց հարթությամբ, ընդ որում, կախված կոնի բացվածքի անկյունից՝ ստացվում են տարբեր տիպի Կ. հ.: Կ. h-ի վերաբերյալ առավել ամբողջական աշխատություն է Ապոլլոնիոս Պերգացու (մ. թ. ա. մոտ 200) «Կոնական հատույթներ»-ը: Կ. հ-ի տեսության հետագա հաջողությունները կապված են XVII դ․ ստեղծված երկրաչափական նոր՝ պրոյեկտիվ և առանձնապես կոորդինատական մեթոդների հետ: Կոորդինատների համակարգի պատշաճ ընտրության դեպքում Կ. հ-ի հավասարումը կարելի է բերել $y^2=2px+\lambda x^2$ տեսքի (p, λ-ն հաստատուններ են): Եթե $p\ne 0$, ապա այն որոշում է պարաբոլ $\lambda =0$ դեպքում, էլիպս՝ $\lambda <0$ դեպքում, և հիպերբոլ՝ $\lambda >0$ դեպքում: Դեռևս հին հույն մաթեմատիկոսներին հայտնի էին Կ. հ-ի վերջին հավասարման միջոցով բացահայտվող երկրաչափական հատկություններ, որոնց հիման վրա էլ Ապոլլոնիոս Պերգացին Կ. հ-ի տարբեր տիպեր կոչեց առանձին անուններով, որոնք պահպանվել են առ այսօր, այսպես՝ «պարաբոլ» (հուն. παραβολή) նշանակում է մոտարկում (տրված $y^2$ մակերեսով եռանկյան վերածումը նրան հավասարամեծ և տրված 2p հիմքով եռանկյան, հունական երկրաչափությունում կոչվում էր տրված եռանկյան մոտարկում ըստ այդ հիմքի), «էլիպս» (հուն. ἔλλειψις)՝ թերի, զեղչված (զեղչումով մոտարկում), «հիպերբոլ» (հուն. ὑπερβολή)՝ ավելցուկ (ավելցուկով մոտարկում): Հետազոտության արդի մեթոդները հնարավորություն ընձեռեցին Կ. հ-ի տարածաչափական սահմանումը փոխարինել հարթաչափականով՝ այդ կո-րերը սահմանելով որպես ինչ-որ պայմանների բավարարող կետերի երկրաչափական տեղ հարթության վրա, այսպես, օրինակ, էլիպսը սահմանվում է որպես հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղ, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու կետերից (կիզակետեր) հաստատուն է: Տրվում է նաև ավելի ընդհանուր սահմանում. Կ. հ. հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղն են, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված կետից (կիզակետ) ունեցած հեռավորության հարաբերությունը տրված ուղղից (դիրեկտրիս) ունեցած հեռավորությանը հավասար է տրված l դրական թվին (էքսցենտրիսիտետ): $l<1$ դեպքում Կ. հ. էլիպս է, $l>1$ դեպքում՝ հիպերբոլ, $l=1$ դեպքում՝ պարաբոլ: