ՀՍՀ/ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ, հավասարումներ, որոնք պարունակում են անհայտ ֆունկցիա, նրա տարբեր կարգի ածանցյալներ և անկախ փոփոխականներ: Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման են հանգում ֆիզիկայի, երկրաչափության, բնագիտության շատ խնդիրներ: Օրինակ, եթե մինչև Т₀ տաքացված մարմինը դրված է 0° ջերմաստիճանի միջավայրում, ապա հայտնի պայմանների դեպքում ջերմաստիճանի ΔТ փոփոխությունը Δt կարճ ժամանակում կարելի է բավական մեծ ճշտությամբ հաշվել ΔT=—kTΔt բանաձևով, որտեղ k-ն հաստատուն գործակից է: Այդ նշանակում է, որ ջերմաստիճանի և ժամանակի դիֆերենցիալների միջև տեղի ունի dT=—kTdt սահմանային առնչությունը, այսինքն՝ խնդիրը կարելի է հանգեցնել T’=kT դիֆերենցիալ հավասարման: Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը նշանակում է գտնել բոլոր ֆունկցիաները, որոնք այն դարձնում են նույնություն: Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը իր մեջ մտնող ֆունկցիայի ածանցյալի ամենաբարձր կարգն է Դ. հ. բաժանվում են երկու խմբի՝ սովորական և մասնական ածանցյալներով: Դ. հ. կոչվում են Կաղապար:Լայն, եթե պարունակում են ածանցյալներ ըստ մեկ փոփոխականի, իսկ երբ հանդիպում են մասնական ածանցյալներ ըստ տարբեր փոփոխականների, կոչվում են Կաղապար:Լայն հավասարումներ: $F(x,y,y^{\prime })=0$ (1) հավասարումը, որտեղ x-ը անկախ փոփոխական է, y-ը՝ որոնելի ֆունկցիա, իսկ y'-ը՝ նրա ածանցյալը, կոչվում է առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում: Եթե (1)-ը լուծելի է ըստ y'-ի, այսինքն՝ $y^{\prime }=f(x,y)$, ապա այն f(x, y)dx—dy=0 տեսքով գրելուց հետո դառնում է $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ հավասարման մասնավոր դեպքը, որտեղ x և у փոփոխականները հավասարազոր են անկախ համարվելու տեսակետից: ո-րդ կարգի սովորական Դ. հ. կոչվում են $F(x,y,y^{\prime },...,y^{(n)})=0$ (2) տեսքի հավասարումները, որտեղ x-ը անկախ փոփոխական է, y-ը՝ որոնելի ֆունկցիա, իսկ y', y՛՛, …, y⁽ⁿ⁾-ը՝ նրա համապատասխան կարգի ածանցյալները: (2) հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի $y=y(x,c_1,...,c_n)$ տեսքը, որտեղ c₁, …, c_n (ինտեգրման հաստատուններ) կամայական հաստատուններ են, որոնց յուրաքանչյուր սևեռված արժեքներին համապատասխանում է մի մասնակի լուծում, որի որոշակիության համար հավասարման հետ պետք է տրվեն նաև սկզբնական պայմաններ, այսինքն՝ որոնելի ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների արժեքները հաշվարկի սկզբում: Օրինակ, մարմնի շարժման դիֆերենցիալ հավասարման սկզբնական պայմաններն են մարմնի սկզբնական դիրքը և սկզբնական արագությունը: Եթե լրացուցիչ մտցվեն y₁=y', y₂=y՛՛, …, y_n-1=y^(n-1) (3) ֆունկցիաները, ապա (2)-ը կարելի է փոխարինել ո անհայտով ո հատ առաջին կարգի սովորական Դ. հ-ի համակարգով, որի համար բավական է (3)-ին միացնել $F(x,y,y_1,...,y_{(n-1)},y{\text{'}}_{(n-1)})=0$ հավասարումը: Առաջին կարգի սովորական Դ. հ-ի համակարգի նորմալ տեսքն է $\frac{d{x}_i}{dt}=P_i(t,x_1,...,x_n),i=1,2,...,n$ (4), որտեղ t-ն անկախ փոփոխական է, իսկ x₁, x₂, …, x_n-ը՝ որոնելի ֆունկցիաներ: (4)-ի լուծում կոչվում է x₁(t), x₂(t), …, x_n(t) ֆունկցիաների համակարգը, որը տեղագրելով (4)-ի մեջ՝ այն դարձնում է նույնություն: Ապացուցվում է, որ եթե տված F_i ֆունկցիաները (t⁰, x₁⁰,...,x_n⁰) կետի բաց շրջակայքում դիֆերենցելի են, ապա (4) համակարգի համար Կոշու խնդիրն ունի միակ լուծում, որըորը բավարարում է հետևյալ նախնական պայմաններին՝ x_i(t⁰)=x_i⁰, (i=1, 2, …,n): Հատկապես լայն կիրառություններ ունեն և կարևոր են մասնական ածանցյալներով հավասարումները:

Գրկ. Կաղապար:Լայն В. В., Курс дифференциалных уравнений, М.—Л., 1945; Կաղապար:Լայն И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., испр., М., 1970; Կաղապար:Լայն Дж., Дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1962; Կաղապար:Լայն Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; Կաղապար:Լայն Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.