ՀՍՀ/ՁԵՎԵՐ

ՁԵՎԵՐ մաթեմատիկայում, մի քանի փոփոխականի բազմանդամներ, որոնց բոլոր անդամներն ունեն միևնույն աստիճանը։ $x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$ տեսքի միանդամի աստիճան ասելով հասկանում ենք ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$ թիվը։ Այդ աստիճանը կոչվում է ձևի աստիճան։ Ձ․ կիրառություն ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում, ինչպես նաև մեխանիկայում։ $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$-ից n-փոփոխականի գծային (առաջին աստիճանի) ձևի ընդհանուր տեսքն է՝

$L(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n$,

որտեղ $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ գործակիցները թվեր են։ Կիրառություններում առավել կարևոր դեր են խաղում քառակուսային (երկրորդ աստիճանի) Ձ.: Օրինակ, եթե շարժվող մեխանիկական համակարգի վիճակը մնում է մոտ կայունին, ապա նրա կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաները (եթե նրանք բացահայտորեն կախված չեն ժամանակից) համապատասխանաբար ներկայացվում են).

$T=\sum _{i,k=1}^n{a}_{ik}{q}_i{q}_k$ և $U=\sum _{i,k=1}^n{b}_{ik}{q}_i{q}_k$

q_x-երի կամ q-երի նկատմամբ քառակուսային ձևերով։

Տարբեր աստիճանի Ձ․ կիրառություններ ունեն հանրահաշվական երկրաչափության (հատկապես ինվարիանտների տեսության) և թվերի տեսության մեջ։ Դիֆերենցիալ երկրաչափության և Ռի-մանյան երկրաչափության մեջ, ինչպես նաև մաթեմատիկայի մի շարք այլ բաժիններում օգտագործվում են դիֆերենցիալ Ձ․։ Դիֆերենցիալ ձևը $x_1,x_2,...,x_n$ փոփոխականների $d{x}_1,d{x}_2,...,d{x}_n$ դիֆերենցիալների նկատմամբ բազմանդամ է, որի յուրաքանչյուր անդամ ունի միևնույն $k(k\le n)$ աստիճանը, իսկ այդ բազմանդամի գործակիցները $x_1,x_2,...,x_n$ փոփոխականների ֆունկցիաներ են (հաճախ որոշակի դասի պատկանող)։ Դիֆերենցիալ Ձ-ի օրինակներ են մակերևույթների տեսության առաջին և երկրորդ քառակուսային Ձ․։ Ինտեգրալ հաշվի շատ արդյունքներ, օրինակ Գրինի բանաձևը, Ստոքսի բանաձևը, Գաուս–Օստրոգրադսկու բանաձևը ըստ էության կարող են դիտվել որպես տարբեր աստիճանի դիֆերենցիալ Ձ–ի միջև կապ հաստատող բանաձևեր: Ընդհանրացնելով այդ առնչությունները, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Է. Կարտանը կառուցեց արտաքին դիֆերենցման տեսությունը, որը կարևոր դեր է խաղում ժամանակակից մաթեմատիկայում:

Գրկ. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967 Картан А., Дифференциальное исчисление, дифференциальные формы, пер. с франц., М., 1971.