ՀՍՀ/ԿՈՇԻԻ ԽՆԴԻՐ

ԿՈՇԻԻ ԽՆԴԻՐ, խնդիր, որտեղ պահանջվում է գտնել դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին: Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմնական խնդիրներից է, առաջին անգամ հանգամանորեն հետազոտել է Օ. Կոշին: Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար Կ. խ. հետևյալն է. գտնել (y^{(n)} = f(x, y, y', ..., y^{(n-1)})) հավասարման այնպիսի լուծում, որի համար հայտնի են (y(x_0)), (y'(x_0)), ..., (y^{(n-1)}(x_0)) արժեքները:

Այս խնդրի լուծման գոյությունը և միակությունը անընդհատ-դիֆերենցելի f-ի համար ապացուցել է Օ. Կոշին, ավելի ընդհանուր դեպքերի համար՝ Ռ. Լիպշիցը, Ջ. Պեանոն, Է. Պիկարը և այլք: Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների համար (պարզագույն) Կ. խ. է՝ գտնել

$D_t^{m}u=f(t,x_1,...,x_n,u,...,D^{k}u,...)$

հավասարման այնպիսի $u=u(t,x_1,...,x_n)$ լուծում, որի համար $t=t_0$ կետում հայտնի են $u,D_{t}u,...,D_t^{m-1}u$ արժեքները: Այստեղ

$k=(k_0,k_1,...,k_n)$, $D^k=D_t^{k_0}{D}_{x_1}^{k_1}\cdot \cdot \cdot D_{x_n}^{k_n}$, $D_t=\frac{\partial }{\partial t}$, $D_{x_j}=\frac{\partial }{\partial x_j}$, $(j=1,...,n)$, $k_0<m$: